そのうえ

付加

❌ 気象予報によると、明日は大雨だけではなくて、そのうえ、風も強いそうだ。
✅ 気象予報によると、明日は大雨だけではなくて、風も強いそうだ。

❌ もちろん人には各自やりたいことを自由にやる権利はあるのだが、タバコというものは、吸う人だけじゃなく近くにいる人にも被害が及ぶから、問題になるわけだ。
✅ もちろん人には各自やりたいことを自由にやる権利はあるのだが、その上、タバコというものは、吸う人だけじゃなく近くにいる人にも被害が及ぶから、問題になるわけだ。

「そのうえ」simply isn’t needed here. Many novice Japanese learners don’t understand that using 「そのうえ」adds emphasis.

そのうえ→さらに

❌ 日本と日本文化の授業を取っている。そのうえ、国際関係の授業も取りたいと思っている。
✅ 日本と日本文化の授業を取っている。さらに、国際関係の授業も取りたいと思っている。

そのうえ→しかも

❌ スポーツは、優れた才能がなくても練習を重ね、その上、興味を持ってすることが大切なことだと思う。
✅ スポーツは、優れた才能がなくても練習を重ね、しかも、興味を持ってすることが大切なことだと思う。

そのうえ→そして

⭐ 本が盗まれた。そのうえ、本の中に入れておいたお金もなくなった。
✅ 本が盗まれた。そして、本の中に入れておいたお金もなくなった。

「そして」is more suitable for speech, but 「そのうえ」is also possible.

❌ タイは、静かな国です。そのうえ、国民も優しいです。
✅ タイは、静かな国です。そして、国民も優しいです。

❌ 私は日本に来て日本語を勉強した。その上、日本の文化や習慣なども学びたい。
✅ 私は日本に来て日本語を勉強した。そして、日本の文化や習慣なども学びたい。

そのうえ→また

❌ 最近の若者はよくミニスカートをはいている。その上、アメリカのスタイルもどんどん取り入れている。
✅ 最近の若者はよくミニスカートをはいている。また、アメリカのスタイルもどんどん取り入れている。

「さらに」「しかも」「そして」「また」all have the same meaning of 「付け加えて」、but 「そのうえ」cannot have the meaning of 「ダメ押し的にあえて付け加える」、in other words, hammering one’s point across. 「そのうえ」also cannot simply juxtapose (think parallelism) two points together like「そして」can.

そのうえ→だから

❌ 来月から実験を始まります。そのうえ計画をはやめに提出してください。
✅ 来月から実験を始まります。だから計画をはやめに提出してください。

「そのうえ」cannot be used to express a cause/effect relation. The pronunciation also happens to be similar to 「そのため」、which may result in these mistakes.

そのうえ→特に

❌ 精密機械工学部の入試気の問題を見たことがあります。漢字は、本当に難しそうです。その上、日本語と英語の翻訳はたしかに簡単じゃありません。
✅ 精密機械工学部の入試気の問題を見たことがあります。漢字は、本当に難しそうです。特に、日本語と英語の翻訳はたしかに簡単じゃありません。

❌ 儀式が終わって、年夜飯が始まります。食べ物が沢山あります。そのうえ、食べ物の中には必ず魚があります。これは「年年有余（毎年生活にゆとりがあるように）」という意味です。
✅ 儀式が終わって、年夜飯が始まります。食べ物が沢山あります。特に、食べ物の中には必ず魚があります。これは「年年有余（毎年生活にゆとりがあるように）」という意味です。

When something is brought up that deserves special attention,「特に」is used, especially regarding 種類・性質・事柄。

そのうえに→そのうえ

❌ もちろん、ゆっくり寝なければなりません。少ししか寝かなったら、体が弱くなります。その上に、ばい菌は簡単に体に入り、入ったことにも気づきません。
✅ もちろん、ゆっくり寝なければなりません。少ししか寝かなったら、体が弱くなります。その上、ばい菌は簡単に体に入り、（私たちは）入ったことにも気づきません。

Many novice Japanese learners think these two terms mean the same thing, but 「そのうえに」is not a conjunction in modern Japanese, or 「接続詞」.
例：机の上に本を置いた。その上にハンカチをかぶせておいた。
Novice learners may confuse 「それに」and 「そのうえ」、adding the 「に」to 「そのうえ」based off the near-identical meaning of 「それに」. Be careful of that.

助詞「も」

❌ 地震が町を破壊しました。そのうえ一週間ぐらい大雨が降っていました。
✅ 地震が町を破壊しました。そのうえ一週間も大雨が降っていました。

It’s more appropriate to emphasis the duration of the earthquake using 「も」. Using 「くらい・ぐらい」doesn’t emphasis the duration and would translate to something like “almost, or as if, very close to, etc.”