❌ 田中先生の奥さんは、料理にかけては一番うまい。
✅ 田中先生の奥さんは、料理にかけてはだれよりもうまい。
In this example, because the writer of the sentence is saying that the Tanaka-san's wife is the best when it comes to her cooking, and there is no comparison (the writer simply states that she is the best when it comes to cooking),「だれよりも」is more appropriate. It may be a little difficult to understand completely, especially based on English thinking.
The writer is choosing a person out of an infinite scope, or rather, no specific scope. It's better to use「一番」when the scope can be defined, whether it is a narrow scope or a wide scope (5 people vs 10,000 people). There is no one to compare to specifically in the example.
❌ この仕事は忙しいので、一番早くしなければなりません。
✅ この仕事は忙しいので、とても早くしなければなりません。
⭐ 私の考えでは、分析力を使わなければならない仕事は、一番面白くて満足いく仕事だと思います。
✅ 私の考えでは、分析力を使わなければならない仕事は、非常に面白くて満足いく仕事だと思います。
These two examples also do not show a specific scope, so「一番」is not suitable.
Novice learners tend to use「一番」when they want to emphasize "the best" or "No. 1" rather than using words like「とても」or「非常に」.
❌ この柿はじゅくし柿にして食べたほうが一番おいしい食べ方です。
✅ この柿はじゅくし柿にして食べたほうが、ずっとおいしい食べ方です。
「一番」cannot be used when comparing things（二者間の比較）when using「～（の）ほうが」.
⭐ 仕事は大切ですが、一番大切なのは家族です。
✅ 仕事は大切ですが、もっと大切なのは家族です。
❌ 私は留学生だから、言葉は一番基本的なので、もちろん勉強しなければならないが、一番勉強したいことはその国の文化とか歴史などだ。
✅ 私は留学生だから、言葉は一番基本的なので、もちろん勉強しなければならないが、もっと勉強したいことはその国の文化とか歴史などだ。
In these two examples, the preceding part of the sentence has the meaning of「それよりも」, which is being compared, similar to the previous examples, so「もっと」is more appropriate.
❌ 俳優のうちに、だれが一番好きですか。
✅ 俳優のうちで、だれが一番好きですか。
This is a minor mistake of using に instead of で when wanting to express「（ある範囲）の中で／うちで」. It should be said that learners make this mistake frequently.
「一番はある範囲・枠の中で程度が最も高い（または、低い）時に使われる。学習者は範囲が特定されていなくても、「一番」を使ってしまうが、この場合は「とても」「非常に」などを用いる必要がある。