あと（で）

るあと（で）→たあと（で）

❌ このレストランは、食事をするあと（で）、必ずデザートが出ます。
✅ このレストランは、食事をしたあと（で）、必ずデザートが出ます。

❌ 日本語を勉強するあとで、手紙を書きます。
✅ 日本語を勉強したあとで、手紙を書きます。

❌ 私はこの映画を見るあとで、もし世界に戦争がなかったらいい（のに）と思いました。
✅ 私はこの映画を見たあとで、もし世界に戦争がなかったらいいと思いました。

Whenever there is a connection between the two sentences（接続）, then タ形 is used.

あと→て

❌ 来年は結婚したあと十年になる。
✅ 来年は結婚して十年になる。

あとで→て／てから

❌ 東京へ行ったあとで、買い物をしました。
✅ 東京へ行って／てから、買い物をしました。

あとで→てから

❌ 日本へ来たあとで、日本語を勉強しました。
✅ 日本へ来てから、日本語を勉強しました。

❌ 卒業した後で、中学で英語を教えていました。
✅ 卒業してから、中学で英語を教えていました。

あと→てから／とき

❌ 8歳になった後、家族と一緒に日本に来ました。
✅ 8歳になってから／8歳のとき、家族と一緒に日本に来ました。

「あと（で）」and「て／てから」often get mixed up. Here are the fundamental differences:

あと（で）：前件と後件の間にはっきりした時間的な前後関係が存在し、時間的な切れ目がかなりあっても文として成り立つ。
て／てから：前後関係は存在するが、時間的な切れ目はあまりなく、前件と後件が引き続いて起こる。

To summarize, when the verbs of the two clauses have a simple relation, then「てから」is more appropriate. Let's take a look at this previous example:

❌ 日本へ来たあとで、日本語を勉強しました。
This could mean: a few hours after coming to Japan, one day after coming to Japan, one month after coming to Japan, etc.

✅ 日本へ来てから、日本語を勉強しました。
This means as soon as the person arrived in Japan, they studied Japanese. There is a relation between arriving and studying unlike the previous, incorrect example.

あとで→たら

❌ 病気になったあとで、病院へ行ったほうがいい。
✅ 病気になったら、病院へ行ったほうがいい。

⭐ 卒業したあとで、新聞社に入りたい。
✅ 卒業したら、新聞社に入りたい。

❌ この薬を飲んだあとで、充分な睡眠が必要です。
✅ この薬を飲んだら、充分な睡眠が必要です。

⭐ いいね、じゃあ、終わった後で連絡するよ。
✅ いいね、じゃあ、終わったら連絡するよ。

It's hard to use「あとで」when there is a clear temporal relation between the two clauses. 「たら」has a similar meaning to「てから」when it comes to the relation between the two clauses.

Go to たら to see how たら is commonly misused.

We can use「あとで」if we change the wording in some of the sentences. Let's take this example second example in this section.
If we write it something like this 「今すぐと言われても困る。やっぱり卒業したあとで、（正式に）新聞社に貼りたい」then not only「たら」but also「あとで」can be used.

あとで→と

⭐ 狼は10匹の子羊を食べたあとで、川へ水を飲みに行った。
✅ 狼は10匹の子羊を食べると、川へ水を飲みに行った。

Because of the relation of time, like the previous examples,「あとで」isn't suitable. Furthermore, this sentence is a story development. The「と」gives it a sense of not knowing what will happen next. What follows after the「と」could be something that already happened or will happen in the future if the wolf eats the baby sheep.

あとで→あとは

⭐ ＜誘いの場面で＞今日、授業の後でどうするの？
✅ 今日は、授業のあとはどうするの？

「あと」can take other particles than「で」. In this case it takes the contrastive「は」.

あとで→あとも

⭐ アメリカに帰ったあとで、日本語の勉強を続けました。
✅ アメリカに帰ったあとも、日本語の勉強を続けました。

This example shows the「も」particle used to show the meaning of "also after returning to America."

あとに→あとで

⭐ 同窓会のとき、私達はいつも食事のあとに、カラオケに行きます。
✅ 同窓会のとき、私達はいつも食事のあとで、カラオケに行きます。

「あとに」can also be used instead of「あとで」. Here「あとに」would have the meaning of "When will we go to karaoke?" Using「あとで」the meaning would be「食事→カラオケ」, which is the better choice.

In the following examples, try to see whether「あとに」or「あとで」is better:
①コーヒーの｛あとに／あとで｝たばこを一服どうぞ。
②宴の｛あとに／あとで｝ツーショットを一枚。
③他の人たちが行ってしまった｛あとに／あとで｝一人残る。

Either「あとに」or「あとで」may be used, but they carry different meanings.
「あとで」は時間的順序（前後関係）を問題にし、「あとに」は「前件の事態が終わった時点の状況・事態の中で、そのまま／引き続き」という意味合いが入ると言えるだろう。